[数学]蒙特卡罗方法概述(1)

well

很久没和大家交流了，这次趁身体比较好，给大家带来一个关于蒙特卡罗的系列介绍，多数属抄袭，但仍然希望大家喜欢 ：）
PS:身体太重要了，大家平时要多锻炼，保持心理平衡，我就是被心理问题苦苦困了6年
不多说了，进入正文吧：
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1。简介
    蒙特卡罗（Monte Carlo）方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明 ，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。
    Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周 的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。
   
例. 蒲丰氏问题
    为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（ l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式：
P=2l/Pi*a => Pi=2l/Pa
而P＝～＝n/N
所以Pi=~=2l/a*(N/n)
其中N为投计次数，n为针与平行线相交次数
参考资料:http://www.gxtvu.com.cn/eduwest/ ... aths/0092/8/8-2.htm

2。基本思想
    由以上例子可以看出，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
    当随机变量的取值仅为1或0时，它的数学期望就是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随机变量（仅取值为1或0）的数学期望。
    因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望
                         <g>=g(r)f(r)在0到无穷上的积分 （<g>表示g的期望）
    通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用概率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r1，r2，…，rN，），将相应的Ｎ个随机变量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值作为积分的估计值（近似值）。
    为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。


3。蒙特卡罗方法的特点
优点：
能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。
受几何条件限制小。
收敛速度与问题的维数无关。
具有同时计算多个方案与多个未知量的能力。
误差容易确定。
程序结构简单，易于实现。

缺点：
收敛速度慢。
误差具有概率性。
在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关。

4。蒙特卡罗方法的主要应用范围
    蒙特卡罗方法所特有的优点，使得它的应用范围越来越广。它的主要应用范围包括：粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及医学，生物，探矿等方面。随着科学技术的发展，其应用范围将更加广泛。
    蒙特卡罗方法在粒子输运问题中的应用范围主要包括：实验核物理，反应堆物理，高能物理等方面。
    蒙特卡罗方法在实验核物理中的应用范围主要包括：通量及反应率，中子探测效率，光子探测效率，光子能量沉积谱及响应函数，气体正比计数管反冲质子谱，多次散射与通量衰减修正等方面。

cyfdecyf

第一次看到 Monte Carlo 方法是在 SICP 里面。现在越来越觉得数学有用了，可惜当初没有好好学……